대학원 석사논문

 

 

 

 

工學碩士學位論文

 

 

 

전동기(동기형 릴럭턴스)의

설계 및 토크 특성 해석

 

                                        

 指導敎授 :

 

0000年 00月

 

00大學校 大學院 

 

電氣工學科 

 

金 寬 換

 

 

 

 

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요 지

 

본 논문에서는 동기형 릴럭턴스 전동기의 토크리플을 최소화하기 위한 회전자의 최적화 설계와 Winding Function Theor 를 이용한 토크 특성 해석에 대하여 서술하였다.  

 

Ld, Lq 차와 비의 특성을 이용하여 동기형 릴럭턴스 전동기의 토크 리플을 최소화 할 수 있는 회전자 자속 장벽의 개수를 유한요소 해석으로부터 결정하였다. 그리고 최적화 기법 중 크리깅을 토크 리플을 최소화 할 수 있는 회전자의 형상을 설계하였고 최적화 후의 토크 리플의 크기가 최적화 전의 토크 리플보다 70% 정도 줄어든 것을 확인하였다.  

 

Winding Function Theory를 이용한 동기형 릴럭턴스 전동기의 토크 특성 해석을 위하여 회전자의 자속 경로를 계산할 수 있는 새로운 등가 모델을 제시하였다. 제시한 등가 모델을 이용하여 최적화 전 모델과 최적화 후 모델에 대한 토크 특성을 해석하고 유한요소해석을 통한 해석 결과와 비교 검토하여 타당성을 확인하였다. 또한 최적화한 동기형 릴럭턴스 전동기를 제작하고 구동 회로를 이용한 드라이브를 구성하여 토크 리플을 측정한 결과로부터 해석의 정확성도 확인하였다.

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                                  목   차

 

제1장 서 론 1

      1.1 연구배경 및 필요성 1

      1.2 연구내용 3

 

제2장 동기형 릴럭턴스 전동기 5

      2.1 기본 원리 5

      2.2 D-q 전압 및 토크 특성 7

      2.3 최대 역률 특성 9

      2.4 회전자 설계 11

      2.4.1 기본모델과 재 설계시 고려사항 11

      2.4.2 토크 및 역률 특성에 영향을 미치는 설계변수 12

      2.4.3 회전자 설계 과정 및 개선 방안 15

 

제3장 Winding Function 이론 16

      3.1 원통형 회전기에 대한 winding function 이론 16

      3.2 돌극형 회전기에 대한 winding function 이론 22

      3.3 인덕턴스 계산 26

 

제4장 유한요소 해석 수식 정식화 30

      4.1 유한요소 해석 30

      4.1.1 유한요소법 32

      4.1.2 지배방정식 유도 33

      4.1.3 Galerkin법에 의한 정식화 36

      4.1.4 회로방정식과 전자계 방정식의 결합 42

      5.1.5 추력 및 수직력 계산 46

 

제5장 회전자 형상 설계 49

      5.1 유한요소법에 의한 특성 해석 49

      5.1.1 설계 변수에 따른 특성 해석 49

      5.1.2 개선 모델의 특성 해석 60

      5.2 최적화 기법에 의한 회전자 형상 설계 62

      5.2.1 크리깅 방법 62

      5.2.2 단순 크리깅 63

      5.2.3 정규 크리깅 66

      5.2.4 공동 크리깅 69

      5.2.5 일반 크리깅 71

      5.3 회전자 최적 설계 73

      5.3.1 Sample model 75

      5.3.2 최적 설계 76

 

제6장 토크 특성 해석 80

      6.1 동기형 릴럭턴스 전동기 사양 80

      6.2 Winding Function 80

      6.3 토크 특성 83

 

제7장 구동 시스템 구성 및 실험 96

      7.1 실험 장치 구성 96

      7.1.1 DSP를 이용한 메인 보드 97

      7.1.2 전력 변환 회로 100

      7.2 실험 장치 구성 102

      7.3 실험 결과 고찰 103

 

제8장 결 론 105

참고문헌 107

Abstract 112

 

 

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1 장 서 론

1.1 연구 배경 및 필요성

 

최근 고유가 시대, 환경적인 측면에서의 문제점이 대두 되면서 사회 전반적으로 대체에너지가 각광 받고 있으며 정부 주도하에 산업 진행 및 민간 기업들의 연구 개발이 대체 에너지를 활용하는 방안으로 진행되어지고 있다. 최근 연구 되고 있는 전기 자동차의 경우, 현재 사용하고 있는 가솔린을 대체할 전기적인 에너지 활용 뿐 아니라, 효율적인 측면에서 자동차의 각 부분을 기계식이 아닌 전자식으로 대체하고 있는 연구가 활발해지고 있다. 자동차의 핸들 부분에 사용되는 조향장치는 기존에는 유압식으로 사용되었으나 연료의 효율 등의 이점으로 인해 전자식으로 되고 있으며, 이러한 전동식 조향 보조장치 (EPS-Electric Power Steering) 시스템을 위해 동기형 릴럭턴스 전동기의 연구가 활발히 진행되고 있다.

 

[1].동기형 릴럭턴스 전동기의 경우 고속 운전, 장시간 운전 등의 장점이 있으나 토크 리플이 심하여 상용화하기에 어려움이 많았다. 그러나 최근 전력전자 기술의 발전에 따라 구동회로의 성능이 좋아지고 가격이 저렴해지고 있어 가변속 전동기로 주목받고 있다. 동기형 릴럭턴스 전동기는 회전자 돌극 구조에 의한 릴럭턴스 토크가 발생하는 전동기로서 회전자에 영구자석이나 권선이 없어 구조가 간단하다. 고정자 권선은 일반적인 3상 정현파 분포를 가지므로 기존 교류전동기의 고정자를 그대로 이용할 수 있어 경제적이고, 정현파 회전자계에 의한 정현파 전류가 인가 되어 정현적으로 회전하는 공극 기자력을 발생시킴으로서 스위치드 릴럭턴스 전동기에 비해 토크 맥동 및 소음 등을 줄일 수 있어 유연한 토크특성 및 정속 운전이 가능하며 영구자석을 사용하지 않기 때문에 IPMSM보다는 효율이 낮으나, 유도기에 비해서 높은 효율과 역률을 가지며 제작비용이 저렴하다

 

[2].동기형 릴럭턴스 전동기는 성층 방법에 따라 축 방향 성층형과, 횡 방향 성층형으로 분류된다. 축 방향 성층형의 경우, 돌극비는 증가하지만 구조가 복잡하고 축에 회전자 철심을 고정시켜야 되므로 횡 방향 성층형에 비해 제작이 어렵고, 비용이 증가한다. 이에 비해 횡 방향 성층형에 해당하는 단편형 동기형 릴럭턴스 전동기는 제작이 비교적 용이하고, 고정자의 슬롯으로 인해 발생하는 토크 리플을 스큐를 이용해 개선시킬 수 있으며, 축 방향 성층 못지 않은 높은 돌극비를 갖도록 설계가 가능하므로 최근 국내외적으로 개발이 활발하다.[3]

 

동기형 릴럭턴스 전동기의 토크 특성 해석을 위해서 수치해석법인 유한요소 해석이 많이 사용되고 있다. 유한요소 해석의 장점은 성 해석의 결과가 실험 결과와 거의 비슷하다는 것이지만 그에 비해 단점은 시간이 많이 소요된다는 것이다. 이에 유한요소 해석을 대신할 특성 해석 방법에 대한 연구가 필요하다.

 

최근 전동기 특성 해석을 위해 Winding Function Theory(WFT)을 이용한 특성 해석 방법이 연구되고 있다. WFT를 이용한 유도전동기 특성 해석 및 고장 진단에 대한 연구도 발표되었으며[4-5], 돌극형 구조를 갖는 동기형 릴럭턴스 전동기의 특성 개선을 위한 D, Q축 인덕턴스의 차와 비를 개선하는 논문[6] 및 토크 리플 감소를 위해 스큐를 고려한 특성 해석 기법도 발표되었다[7]. 그러나 WFT를 이용한 원통형 구조를 갖는 동기형 릴럭턴스 전동기의 특성 해석에 대한 논문은 아직 미진한 실정이다.

 

1.2 연구내용

본 논문에서는 동기형 릴럭턴스 전동기의 토크리플을 최소화하기 위한 회전자의 최적화 설계와 WFT를 이용한 토크 특성 해석에 대하여 서술하였다. 돌극형 회전자보다 Ld, Lq 차와 비의 특성이 좋은 원통형 회전자의 토크 리플을 최소화하기 위하여 최적화 기법을 적용하여 설계하였고, WFT로 토크 특성을 해석하기 위하여 새로운 등가 회전자 모델을 제시하였고 WFT에 의한 토크 특성 결과를 유한요소해석 결과 및 실험결과와 비교하여 타당성을 검토하였다.

 

연구내용을 정리하면 다음과 같다. 

1장에서는 연구배경과 연구내용을 정리하였다. 

2장에서는 원통형 회전자를 갖는 동기형 릴럭턴스 전동기의 특성을 서술하였고, 회전자 설계에 대하여 설명하였다. 

3장에서는 WFT의 이론과 해석에 적용하기 위한 조건사항들을 소개하였다. 

4장에서는 유한요소해석을 위한 수식의 정식화에 대해서 서술하였다.

5장에서는 유한요소해석을 이용하여 토크 리플을 최소화 할 수 있는 회전자 장벽 개수를 결정하고, 최적화 기법을 이용하여 회전자 형상을 최적 설계하였다.  

6장에서는 동기형 릴럭턴스 전동기의 사양에 대해 소개하고, 최적화 기법이 적용된 모델을 WFT로 토크 특성을 해석하기 위하여 새로운 회전자 등가모델을 제시하였고 해석 결과를 유한요소 해석법을 사용한 해석 결과와 비교, 검토 하였다.

7장에서는 동기형 릴럭턴스 전동기의 구동 드라이브를 구성하고 최적화된 동기형 릴럭턴스 전동기의 토크 리플을 측정하고 시뮬레이션 결과와 비교 검토하였다. 

8장에서는 본 연구에서의 얻어진 결과를 요약하였다.

 

 

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제 2 장 동기형 릴럭턴스 전동기

 

2.1 기본원리

동기형 릴럭턴스 전동기의 고정자는 유도전동기와 같으며 회전자는 돌극 구조이다. 동기형 릴럭턴스 전동기에서 발생하는 d축, q축의 인덕턴스 차에 비례하고, 역률은 두 인덕턴스의 비와 관련된다. 그림 2.1은 회전자의 단편수, .N에 따른 구조이다. 그림에서 단편수 N=1 일 경우 d축 자속이 전체 극 표면에 충분히 흐르지 못하며, 단편수가 두 개나 세 개일 경우에는 q축 자속이 많이 흐르게 되어 회전자가 갖추어야 할 조건을 만족시키지 못한다. 일반적으로 회전자의 단편수가 증가할수록 위의 두 가지 조건을 만족하게 되지만. 회전자의 기계적인 구조 때문에 제한을 받게 된다. 또한 회전자의 중앙에는 전동기의 축에 들어가야 하는 공간이 있어야하므로 회전자의 단편수는 항상 홀수로 정해야함 한다.

 

그림 2.1 단편수의 증가에 따른 회전자 구조

Fig 2.1 The rotor structure according to segments increase

 

그림 2.2는 고정자 슬롯구조와 함께 한 회전자 구조를 나타낸 것이다. 즉 그림 2.2(a) 는 회전자 철심 부분에서의 자속밀도의 제 1고조파 성분을 없앨 수 있는 구조이다. 하나의 단편에 흐르는 자속은 인접한 다른 단편으로 흘러 들어간다. 그러나 철심 부분에서의 자속밀도의 맥동은 단편의 중간 부분에서 선형적으로 감소하게 된다. 이러한 구조는 단편 수가 짝수가 되어 실제 기기의 제작시에는 중앙에 축을 마련할 수 없어 제작이 불가능하다. 또한 그림 2.2(b)는 손실을 더욱 감소시킬 수 있는 구조이다. 회전자의 단편 피치가 정확히 슬롯피치와 일치하기 때문에 공극 전체에 걸쳐 자속량은 거의 일정하여 리플을 줄일 수 있으며, 자속은 회전자 단편을 통해 대부분 고정자까지 쇄교하므로 회전자 철심 부분에 영향을 주지 못한다. 이러한 구조 역시 다양한 형태로 손실의 감소에 대한 연구가 이루어진 바 있으며 구조가 간단하기 때문에 실험모델로 주로 이용된다.

 

그림 2.2 회전자 손실이 적은 구조

Fig 2.2 Low loss rotor structure 

그림 2.2에서 단편 구조가 따로 분리되어 있으나 전동기 제작시에는 회전자의 기계적인 구조상 끝 부분이 이어진 형태로 되어야 하는데 이러한 부분을 립이라 한다. 립은 회전자의 각 단편들을 기계적으로 고정시키는 역할을 한다. 이러한 립 부분은 그림 2.3과 같이 회전자에 q축 자속이 흐흘 수 있는 자로를 형성하게 되므로 이를 최소화하기 위해 되도록 폭을 좁게 해야 하나 기계적 구조상 줄일 수 있는 한계가 있다. 또한 립의 폭이 좁아지면 이 부분에서 자기포화가 일어나며 립에서의 자속에 의한 발생토크가 영향을 받으므로 립 부분에서의 자속량을 정확히 해석해야 한다. 따라서 이 경우 비선형 해석이 필수적이다.

 

2.2 d-q 전압 및 토크 특성

동기형 릴럭턴스 전동기의 d축, q축 정상상태 전압방정식은 각각 식 (2.1) 및 식 (2.2)과 같다.                  

(2.1)

(2.2) 

여기서, , 는 각각 고정자의 d축 및 q축 인덕턴스, 는 고정자의 상 저항, 는 회전 속도이다. 전자기 토크를 d, q 축 변수로 표현하면 일반 동기기의 토크 식과 동일한 식 (2.3)과 같이 나타낼 수 있다.

 (2.3)

그림 1의 벡터도에서 식 (2.4)와 같이 표현할 수 있다. 식 (2.4)를 식 (2.3)에 대입하면 식 (2.5)와 같은 전자기 토크를 유도할 수 있다. 

(2.4)

(2.5)

동기형 릴럭턴스 전동기의 토크는 식 (2.3)과 같이 d, q축 인덕턴스의 차에 비례하고 식 (2.5)에서 전류 당 토크 발생량도 두 인덕턴스의 차에 의해 결정됨을 알 수 있다.

그림 2.3 SynRM의 벡터도

Fig. 2.3 Vector diagram corresponding to SynRM

 

2.3 최대 역률 특성

동기형 릴럭턴스 전동기의 단점 중 하나는 저 역률 특성이다. 역률을 개선시키기 위해서는 돌극비를 증가시켜야하는데, 최대 역률과 돌극비 사이에는 식 (2.6)에서 식 (2.11)까지의 관계가 성립한다.

역률은 그림 1의 벡터도로부터 식 (2.6)과 같이 나타낼 수 있다.

(2.6)

여기서, 는 mmf 각이다.

식 (2.6)의 관계로부터 식 (1.7)로 다시 표현할 수 있다. 

(2.7) 

돌극비 (Saliency ratio)를 정의하고 식 (2.7)을 돌극비의 함수로 정리하면 식 (2.8)과 같이 나타낼 수 있다.

 (2.8)

여기서, 최대 역률을 얻기 위해서는 1차 미분 값이 0인 식 (2.9)의 조건을 만족해야 한다. 

(2.9)

이로부터, 역률이 최대일 조건 식 (2.10)을 얻을 수 있다. 

(2.10)

그러므로, 식 (2.8)에 식 (2.10)을 대입하면 최대 역률 특성식인 식 (2.11)을 얻을 수 있으며, 이로부터 최대 역률이 돌극비 에 비례함을 알 수 있다.

(2.11)

따라서, 식 (2.3)과 식 (2.11)에 의해 토크와 최대 역률에 영향을 미치는 d, q 인덕턴스의 차 와 비를 증가시킴으로써 토크 및 역률 특성을 개선시킬 수 있다. 따라서 고정자 슬롯수와 개방폭, 공극의 길이, 회전자의 자속장벽의 수 및 폭 등의 기하학적인 형상을 적정하게 변화시켜 d, q 축 인덕턴스를 변화시켜 특성을 개선하기로 한다.

 

2.4 회전자 설계

2.4.1 기본 모델과 재 설계시 고려사항

동기형 릴럭턴스 전동기의 고정자는 유도전동기의 고정자와 구조가 동일하므로 주 설계 대상은 회전자이다. 본 논문은 연구실의 4극 단편형 회전자구조의 동기형 릴럭턴스 전동기을 기본모델로 하여 개선된 토크 및 역률 특성을 갖는 회전자의 설계에 관해 다룬다.[7]

표 2.1과 그림 2.4는 기본모델의 사양과 단면도를 나타낸 것이다. 그림 2의 립 부분은 회전자의 각 철심 단편들을 이어주는데, 각 단편들은 절연층으로 된 자속 장벽으로 분리되어 있다. 따라서, 이런 형태의 동기형 릴럭턴스 전동기를 단편형 동기 릴럭턴스 전동기 혹은 자속 장벽형 동기 릴럭턴스 전동기라 한다.

 

 

표 2.1 기본모델 사양

 

Table 2.1 Specifications of basic model

 

 

 

단편형 동기 릴럭턴스 전동기
상수	3
극수	4
슬롯수	36
자속 장벽의 수	3
출력 [W]	400
전압 [V]	220
정격속도 [rpm]	1750
1차 저항 [ ]	2.82
회전자 적층 길이 [mm]	55
공극 [mm]	0.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림 2.4 단편형 동기형 릴럭턴스 전동기의 단면도

Fig. 2.4 Cross-Section of the segmented type SynRM 

동기형 릴럭턴스 전동기에서 발생하는 토크는 앞장의 식 (2.3)과 식 (2.11)에서 보는바와 같이 d축, q축의 인덕턴스의 차와 비에(돌극비)에 영향을 받으므로 고 토크 고 역률 특성을 얻기 위해서는 다음과 같은 조건을 만족해야 한다.[8]

- 자화 인덕턴스를 충분히 얻기 위해서 d축 자속은 극의 전체 표면을 따라 흘러야만 한다.

- q축 인덕턴스를 최소화하기 위해 q축 자속은 적게 흘러야만 한다.

2.4.2 토크 및 역률 특성에 영향을 미치는 설계 변수

단편형 동기 릴럭턴스 전동기의 설계 시 고려할 변수들은 고정자의 슬롯과 공극, 회전자의 립과 자속 장벽이다. d, q 축 인덕턴스의 차와 비를 증가시켜 고 토크, 고 역률 특성을 얻기 위해서는 이들 주요 변수들을 설계 파라미터로 하여 최적값을 결정해야만 한다.

 

(1) 고정자의 슬롯 및 공극의 영향

고정자의 슬롯에서는 누설로 인한 q 축 인덕턴스의 증가로 돌극비 가 감소한다. 또한, 슬롯의 개방 폭에 따라 누설자속이 결정되어 , 의 인덕턴스 특성이 달라지므로 이를 고려해야만 한다. 슬롯 수와 개방 폭이 다른 여러 경우를 예로 들어 유한요소 해석을 하였다.

일반적으로 공극은 돌극비 를 개선시키기 위해 작게 유지해야 하지만, 제작상의 문제 등으로 제한이 있다. 슬롯의 개수 및 개방 폭과 공극이 인덕턴스 특성에 미치는 영향은 유한요소 해석을 통해 4장에서 고려하겠다. 단, 기본 모델의 고정자는 36슬롯 구조이고 슬롯의 개방 폭은 2.8mm 이며 공극은 0.35mm 이다.

 

(2) 회전자 립의 영향

동기형 릴럭턴스 전동기는 단편 구조가 따로 분리되어 있으나 전동기의 제작 시에는 회전자의 기계적인 구조 상 끝 부분이 이어진 형태로 되어있어야 한다. 이러한 부분을 립이라 하는데 회전자의 각 단편들을 기계적으로 고정시키는 역할을 한다. 립 부분은 그림 2.5와 같이 회전자에 q축 자속이 흐를 수 있는 자로를 형성하고 폭이 넓을수록 누설자속의 영향으로 q축 인덕턴스( )가 증가하게 되므로 가능한 한 폭을 좁게 해야 한다. 따라서, 토크도 립의 폭이 좁은 경우 더 커지는데, 성능이나 기계적 강도를 고려하여 설계 모델의 립은 0.5mm 로 선정하였다.

 

 

그림 2.5 립에서의 자속 흐름 경로

 

Fig. 2.5 Paths of rib flux 

 

 

 

(3) 자속 장벽의 수

q축 자속의 흐름을 제한하기 위해서는 회전자 철심의 자기 포텐셜이 달라야 하고, 이를 위해 절연층으로 이루어진 자속장벽을 둔다. 회전자 내 자속 장벽을 적정수로 증가시키면 는 증가하고 가 감소하여 단위 전류당 토크가 증가한다. 그러나, 자속 장벽 수를 일정 개수 이상으로 늘리면 일정한 회전자 영역 내의 철심 부분이 상대적으로 좁아져 포화가 일어난다. 즉, 돌극비 는 더 이상 증가하지 않으며 기계적으로도 견고하지 못한 구조가 된다. 따라서, 본 논문에서는 적정 개수를 정하기 위해 제작상의 문제(와이어 커팅 등)를 고려하여 3개부터 최대 6개의 자속 장벽을 갖는 여러 모델에 대해 각각의 성능을 비교 검토하였다.

 

(4) 자속 장벽 폭의 변수

토크 및 역률 특성에 영향을 미치는 설계 변수들 중 자속 장벽의 개수 외에 전체 철심영역에 대한 전체 철심 영역에 대한 전체 자속 장벽 영역 폭의 비인 를 회전자 재 설계시 주 설계 변수로서 고려하기로 한다.

자속 장벽의 두께는 d, q인덕턴스의 차와 돌극비 가 최대로 되도록 선택해야 하는데 식 (2.12)와 같이 정의한다.  

(2.12)

; 전체 자속 장벽 영역의 폭

; 전체 철심 영역의 폭 

2.4.3 회전자 설계 과정 및 개선 방안

동기형 릴럭턴스 전동기는 전류가 흐르는 고정자의 권선 부분과, 주 자속이 통과하는 고정자와 회전자의 철심 부분, q축 자속의 흐름을 제한하는 절연층인 자속 장벽으로 이루어져 있고, 전동기 특성은 이들 구성 요소들에 영향을 받는다. 설계 과정 중에서 재 설계 모델의 고정자와 회전자의 직경, 공극, 적층길이, 축 등의 사양은 자속 장벽의 개수와 에 따른 특성 비교를 위해 기본 모델과 동일하므로 주 설계 대상은 회전자이다. 우선 슬롯, 공극, 자속 장벽의 영향을 알아보고 자속 장벽의 개수와 를 주 설계 변수로 고려하여 개선된 회전자 모델을 얻는다.

 

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제 3 장 Winding Function 이론 

3.1 원통형 회전기에 대한 Winding Function 이론

그림 3.1과 같은 원통형 모델은 고정자와 회전자가 회전축에 대해 대칭 정렬되어 있다. 공극은 일정한 간격을 유지하고, 길이는 회전자 반지름에 비해 매우 작다고 가정한다. 고정자 안쪽 지름은 Rs 이고, 회전자 반지름은 Rr 이다. 권선에 흐르는 전류는 i, 권선의 턴 수는 Nt, 회전축에 대칭이며, 권선의 뒤틀림과 기울기는 없다고 가정한다. 그림 3.1에서 경로 12341은 φ 각을 이루고 반시계방향으로 증가한다. 그중 경로 12는 기준점(φ=0)에서 고정자에서 회전자로 공극을 가로지르고, 경로 34는 임의의 점(0<φ≤2π)에서 그 반대 방향이다. 암페어의 법칙을 적용하면 다음과 같다.

여기서 S는 폐경로 12341의 표면적이다. 권선에 i 전류가 흐르면 이 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

n(φ) 는 turns function이라 하고, 폐경로 12341에 둘러싸인 권선의 턴 수를 표현한다. 폐경로 12341에 둘러쌓인 권선에 들어가는 방향으로 전류가 흐르면 n(φ)는 양의 값을 가지고, 나오는 방향의 전류일 경우는 음의 값을 가지게 된다. 0<φ≤2π 사이의 turns function을 그림 3.2에 나타내었다.

 

 

그림 3.2에서 turns function은 φ각에 의존하는 것을 알 수 있다.

식 (3.2)는 4개의 성분으로 나눌 수 있고, 각 성분들은 자기회로에서 기자력으로 설명된다. 식 (3.2)를 기자력으로 표현하면 다음과 같다.

 

준비

φ를 공극상의 임의의 점이라고 가정하면 식 (3.3)은 다음과 같이 벡터 합으로 쓸 수 있다.

 

준비

여기서 u 는 적분 치환 변수이다. 권선 단부 효과를 무시하면, 자계의 세기(H)의 반경 방향(r) 성분과 회전 방향(φ) 성분은 축 방향 길이(z)에 독립적이다.

철심의 투자율은 공극 보다 몇 천배 크기 때문에 공극 부분과는 다르게 철심의 릴럭턴스를 무시한다. 공극의 길이는 자속의 경로중 매우 작은 부분이기 때문에 철심의 릴럭턴스가 반드시 작은것은 아니다. 철심의 이(teeth) 부분과 요크(Yoke) 부분의 길이를 공극에 포함하여 유효 공극 길이 ge 로 통합한다. 유효 공극과 공극 길이가 같다고 가정한다. 자기력 F23 과 F41을 공극 자기력 F12 와 F34 에 통합하고, 철심의 투자율을 무한대로 둔다. 그러면 식 (3.3)은 다음과 같다.

 

준비

유효 공극 길이 ge는 회전자 길이 Rr과 비교해서 매우 작아서 공극 자계 세기 Hr 은 일정하다고 가정한다. 따라서 식 (3.4), (3.6)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

준비

식 (3.9), (3.10)을 풀기 위해서 가우스 정리를 이용한 추가 방정식이 필요하다.

 

준비

철심은 무한대의 투자율을 가지고, 원통형 표면 S를 선택하면 식 (3.11)은 다음과 같다.

 

준비

l 은 고정자 축 방향 길이이고, 자계 Hr 은 축 방향에 독립적이고, 공극 반지름 r은 일정한 값을 가지므로 식 (3.12)는 다음과 같다.

 

준비

식 (3.14)를 0부터 2π까지 적분하면 다음과 같다.

 

준비

F12와 i는 φ에 독립이기 때문에 식 (3.15)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

준비

식 (3.16)의 대괄호 안의 값은 turns function n(φ)의 평균값을 나타낸다. Turns function의 평균값을 다음과 같이 나타낸다.

 

준비

그러면 식 (3.17)은 다음과 같다.

 

준비

식 (3.18)로부터 공극의 임의의 점에서의 기자력 다음과 같다.

 

준비

식 (3.19)에서 괄호 안은 turns function에서 turns function의 평균값을 뺀 값을 나타낸다. 이 값을 winding function이라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

 

준비

식 (3.20)은 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

 

준비

기자력은 winding function과 관계가 있다. 기기의 해석에서 winding function은 중요하고, 대부분의 인덕턴스를 계산하는 기초가 된다.

3.2 돌극형 회전기에 대한 Winding Function 이론

이중 원통형 기기에서 회전자와 고정자 사이의 공극은 고정자 외부에서 측정되는 Angle 와 독립되어 있다고 가정한다. 이런 종류의 전동기는 유도기 또는 권선형 동기 전동기이고, DC 전동기와 돌극형 전동기와 같은 다른 기기들은 고정자 내경과 회전자 외경이 위치에 대한 함수로 표현되어진다. 이 경우 공극의 길이는 Angle 의 함수로 표현되어진다.

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그림 3.3 돌극형 기기의 자속 경로

Fig. 3.3 Flux path of noncylindrical machine

 

그림 3.3과 같은 2극 기기의 경우 고정자는 원통의 형태를 갖지만, 공극에 대한 단면은 일정하지 않다. 권선이 지면 안으로 들어가서 반대쪽으로 지면을 통과하여 나올 경우 각 권선은 full pitch 이며, 지면으로 들어가는 방향으로 전류가 흐른다.

균일한 공극을 가진 경우, 공극 부분은 철심에서의 MMF(Magnetic Motive Force) 강하를 고려하여 수정되어진다. 여기서 철심의 투자율은 무한대라고 가정한다. 비록 회전자에 돌극이 존재하지만, 해석은 DC machine 에서의 고정자 돌극과 비슷하게 된다.

Ampere's Law를 적용하면

 

(3.22)

 

여기서, 은 점 1과 4를 따라 발생되는 자속이라 정의하며, 는 경로 12341에 포함되어 있는 권선 턴 수에 대응하는 turn function 이다.

자계 에 대한 선적분으로 MMF를 정의하면

 

(3.23)

가우스 법칙에서

 

(3.24)

여기서, 표면 S는 고정자 안쪽의 표면을 일컫는다. 이 때, 원통의 위와 아래를 통과하는 축방향 자속은 무시되어도 좋다.

축방향 자속 밀도 는 고려하지 않고 길이를 고려하여 표현하면

 

(3.25)

는 고정자 내경의 반지름이다.

축방향 성분을 제거하면

 

(3.26)

고정자 안쪽 표면에서의 MMF에 의한 는 회전자 표면에서의 잠재적인 자기력을 고려해야 한다.

고정자 표면의 자계 세기는 위 식(3.26)과 같으며, 이 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

 

(3.27)

여기서, 돌극형 기기의 경우 의 비는 평균적인 값을 갖지 않는다.

식 (3.23)을 에 대해 0부터 까지 적분하면 다음과 같다.

 

(3.24)

위의 식에서 왼쪽 항을 다시 정리하여 표현하면 다음과 같다.

 

(3.25)

기존에 연구되었던 대로 MMF분포는 홀수차 고조파를 포함하고 있다. 만약 돌극에서 N과 S극이 중심선을 기준으로 대칭이며 일치한다고 간주하면 inverse gap function은 오직 짝수차 고조파 (dc성분)을 갖는다.

만약 turn function과 inverse gap function을 퓨리에 급수로 확장 시킨다면 식 (3.25)의 오른쪽 항만 존재하는데 dc 성분만 남게되며 식 (3.25)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

(3.26)

이 식은 다음과 같이 단순화 시킬 수 있다.

 

(3.27)

여기서 Winding Function을 다시 정의하면

 

(3.28)

여기서, Winding Function 결과와 비교하면 식에서 드러난 외관상으로는 돌극에서의 기자력은 Winding Function의 영향을 받지 않는다. 

 

3.3 인덕턴스 계산

그림 3.3에서 권선을 통해 흐르는 전류는 1으로 들어가서 1‘으로 나오는 방향으로 정의하며 2번 권선과 3번 권선, N번 권선에 관하여도 똑같이 정의한다. 공극에서의 자속 분포는 권선을 통해 흐르는 전류에 의해 발생되어지며 그림 3.3에서의 권선 배치가 정확한 것이 아니라고 간주한다.

서로 다른 단면 과 공극 길이 를 통과하는 일반적인 자속은

 

(3.29)

 

식 (3.29)는 그림 고정자 치 부분과 회전자 돌극에 의해서 생기는 ‘flux tube’ 를 정의한다. 여기서 에 대한 함수인 공극 길이 에 주목해야한다. 공극 길이 에서 자속 경로 분포는 의 함수에 의해서 나타내어진다.

1턴 코일 1-1‘ 에서 의 구간을 통과하는 총 자속은

 

(3.30)

코일 2-2‘, 3-3’ 에 누설 자속에 대한 계산을 반복하면, 권선에서 발생되는 총 누설 자속이 계산되어 진다.

턴을 갖는 B 권선에 전류가 흐를 때 턴을 갖는 A 권선에 대해 발생되는 총 자속은

 

(3.31)

는 A 권선의 turn function 이다.

상호 인덕턴스는

 

(3.32)

반대로 A 권선에 전류가 흐를 때 B 권선에 대한 누설 자속을 고려하면

 

(3.33)

자기 인덕턴스는

 

(3.34)

위의 식들은 turn function 과 winding function 으로부터 계산되어진다.

식 (3.32)로부터 상호 인덕턴스 표현은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

 

(3.35)

회전자는 대칭적으로 같은 극 형태와 같은 수의 N, S 자극으로 구성되어 있다. 이 형태에서 inverse gap function 는 짝수차 고조파 성분이 포함된 형태이다.

 

(3.36)

는 공극의 길이가 가장 짧을 때의 회전자 위치이다. 이 때, winding function은 홀수차 고조파를 포함한다.

또는 는 짝수차 고조파를 포함하며 winding function 에서는 홀수 고조파 성분에 대해 표현하기에 식 (3.36)의 두 번째 항은 이상적으로 0이 된다.

상호 인덕턴스에 관해 다시 표현하면

 

(3.37)

자기 인덕턴스는

 

(3.38)

위의 결과로 다음과 같은 단순한 형태의 돌극형 기기에서의 상호, 자기 인덕턴스를 계산한다. 

그림 3.4는 동기형 릴럭턴스 전동기의 단면을 나타내고 회전자의 여자 권선은 존재하지 않는다. 집중권의 분포를 갖는 turn을 갖는 고정자 권선은 상호 직각의 형태로 위치한다. 비록 공극은 극의 끝 부분의 뾰족한 형태로 인해 일정하지 않은 길이를 갖지만, inverse gap function 은 대략적으로 정현적인 형태를 취한다. 여기서 프린징 효과는 무시하며 자속선은 방사상의 형태로 뻗어 나간다.

그림 3.4에 대한 Winding Function 과 gap function은 다음과 같고 이를 통해 앞서 설명한 수식으로 인덕턴스를 계산할 수 있다.

 

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제 4 장 유한요소 해석 수식 정식화

 

4.1 유한요소 해석

자연현상에 대한 수식적 표현은 계변수에 의해 특성화되는 경계치를 가지는 연속치 문제로서 볼 수 있으며 이는 계 전체를 지배하는 편미분 방정식으로 표현된다. 따라서 이와 같은 편미분 방정식을 만족하는 해를 구하면 그 해의 분포함수를 알 수 있다.

편미분 방정식의 해를 구하는 방법으로 계를 집중적인 정수로 보는 해석적인 방법과 분포계로 보는 수치해석적인 방법으로 나눌 수 있다. 해석적인 방법으로는 변수분리법이나 푸리에 급수에 기반을 둔 공간고조파법 등이 있으며 이를 이용하여 계의 지배방정식을 풀기 위해서는 많은 가정을 수반하여야 해석이 가능하므로 해의 정밀도가 낮고 모델에 따라서 해석식이 달라지므로 범용성에 제약을 가지고 있다.

반면에 수치해석적인 방법은 이러한 연속치 문제를 유한개의 이산 값을 가지는 대수방정식 문제로 치환하여 푸는 방법으로써 해석적 방법에 의해 해의 정밀도와 범용성 면에서 우수한 장점을 가지고 있으며 최근 컴퓨터의 급속한 발달로 고속화, 대용량화, 저가격화가 실현되어 점차 관심이 증대되고 있다.

수치해석적인 방법으로는 여러 가지 있으나 해석모델의 복잡한 형상 및 재질의 비선형성 등을 처리하기가 비교적 용이한 유한요소법이 많이 사용되고 있다. 유한요소법은 1950대 항공기의 기체강도를 계산하기 위한 구조역학 분야에 처음 도입되어 그 후 토목, 조선공학 등의 분야로 널리 확산되어 이용되었으며 특히 전기공학 관련 분야에서는 1960년대 후반부터 1970년대를 거쳐 지금까지 가장 널리 사용되고 있다.

 

유한요소법은 그 명칭에서 알 수 있듯이 대상물체 또는 영역을 유한한 크기를 갖는 부분영역(요소)으로 나누고, 각 영역에 대해 원래의 미분방정식으로부터 변분원리 또는 가중잔차법 등과 같은 방법을 이용하여 근사화시켜 얻어진 관계식을 개개의 요소에 적용하여 전 영역에 대한 유한개의 방정식을 구하고 이것의 미지수를 구하는 방법이다.

유한요소법을 이용하여 편미분방정식을 정식화하는 방법은 크게 두가지로 나눌 수 있는데 그 하나는 변분법으로서 임의의 포텐셜 분포를 가정할 때 실제의 자연현상으로 존재하는 분포는 포텐셜 에너지가 최소로 되도록 한다는 자연법칙을 이용하는 방법이고, 또 하나는 Galerkin법으로서 계에서 에너지 범함수의 구성이 불가능한 경우에 그 계의 지배방정식을 구하면 가중잔차법의 원리에 의해 형상함수를 가중함수로 하여 근사해를 구할 수 있다.

4.1.1 유한요소법

유한요소법을 전기기기의 해석에 적용할 경우 전처리, 유한요소정식화, 풀이, 후처리의 순서로 이루어지며 각 단계를 설명하면 아래와 같다.

 

1. 해석하고자 하는 현상에 대해 정의를 하고 그 계의 지배방정식을 유도한다. 이때에 해석방법(차원, 재료의 취급 및 구동함수 등)을 결정한다.

 

2. 해석문제가 정의되고 해석대상을 유한개의 영역으로 분할(요소분할 : Preprocess)한다. 이때 분할하는 요소의 종류는 시험함수와 각 절점의 자유도에 의해 결정된다. 일반적으로 2차원의 경우 3절점의 3각형 요소가 이용되고 3차원의 경우 8절점 6면체 요소가 많이 사용되고 있다. 요소의 절점이나 자유도에는 여러 가지 조합이 있을 수 있으나 1차원 요소를 사용하고 요소수를 늘리는 것이 해의 정확도면에서 유리한 것으로 알려져 있다.

 

3. 요소의 형태를 정의하고 요소분할을 한 다음 각 요소에 대하여 요소방정식을 유도하여야 한다. 이때에 요소방정식은 변분원리 또는 가중잔차법을 사용하여 각 절점에 대한 선형 대수방정식을 유도하게 되는데 이것을 유한요소 정식화라고 한다. 각 요소방정식이 얻어진 후 각 요소방정식을 합하여 계전체에 대한 계 방정식을 유도하게 된다. 이때 얻어진 방정식은 미분방정식에서 선형대수 방정식으로 변환되기 때문에 컴퓨터를 사용하여 쉽게 해를 구할 수 있게 된다.

 

4. 유한요소 해석결과 얻어진 결과는 보통 미지수가 포텐셜이므로 여기서 바로 물리적인 의미를 도출해 내는 것은 어렵다. 따라서 구해진 포텐셜을 이용하여 물리적인 의미가 있는 다른 양을 계산하거나 또는 물리적인 의미가 있는 양들을 시각적으로 그래프 처리를 하는 과정을 후처리 과정이라고 한다. 자계해석에서 주로 얻고자 하는 물리적인 양은 자속밀도, 인덕턴스, 전자력이고 그래픽적으로 유용한 정보는 자속분포, 자속밀도 분포 및 힘 밀도 등이다.

 

4.1.2 지배방정식 유도

변위 전류를 무시할 수 있는 준 정상상태에서, 임의의 해석 영역에 대한 Maxwell 방정식 및 보조방정식은 다음과 같다[39].

 

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

여기서, : 자계의 세기 [A/m],

: 전계의 세기 [V/m],

: 자속 밀도 [Wb/m2],

: 권선 전류 밀도 [A/m2],

: 유도전류 밀도 [A/m2],

: 도체의 이동속도 [m/sec],

: 재질의 투자율 [H/m],

: 2차측 도체의 등가 도전률 [℧/m].

 

한편 식 (4.3)으로부터 자기 벡터 포텐셜 는 자속밀도 와 다음과 같은 관계식으로 정의된다.

 

(4.6)

따라서 식(4.2)와 식(4.6)으로부터 2차 도체판에 유기되는 기전력 는 식(4.7)과 같이 구하여 진다.

 

(4.7)

식(4.1)과 식(4.4)로부터

 

(4.8)

가 되며 벡터공식을 쓰면 식(4.8)로부터 식 (4.9)로 된다.

(4.9)

여기에 인 Coulomb gauge 조건을 적용하면 자기벡터 포텐셜 에 관한 Poisson 방정식을 얻는다.

 

(4.10)

식 (4.10)을 유한요소법을 사용하여 x-y평면에 대해 이차원적으로 해석하기 위하여 다음과 같은 가정을 한다.

 

(1) z축 방향으로의 모든 물리적 현상은 동일하다.

(2) 해석영역에서 모든 전류와 자기벡터 포텐셜은 z축 성분만 갖는다.

(3) 재질의 도전율은 등방성이며, 일정한 상수 값이다.

(4) 재질의 투자율은 등방성이다.

 

가정으로부터 와 자기 벡터 포텐셜 는 z축 성분만 존재하며 도체는 x 축 방향으로만 움직이므로 식(4.10)을 (x,y)에 대한 이차원 직각 좌표계로 전개하면 다음과 같이 LIM의 특성해석을 위한 지배방정식이 구해진다.

 

(4.11)

여기서 는 가정 (2)에 의하여 자기 벡터 포텐셜 의 z축 방향 성분만을 나타내며 는 방향의 이동 속도를 나타낸다.

 

4.1.3 Galerkin법에 의한 정식화

해석 영역을 개의 삼각형 요소로 분할한 후 각각의 삼각 요소 내에서 자기 벡터 포텐셜은 선형적으로 변한다고 가정하면 식 (4.12)와 같이 근사화 된다.

(4.12)

여기서 는 형상함수로서 다음과 같은 좌표함수로 정의된다.

 

(4.13)

단, 는 각 삼각형 요소의 면적이며, 는 각각

 

(4.14)

 

 

로 표현되고 여기서 는 순환수를 나타내는 첨자이다. 또한 형상함수 는 선형 독립이므로 전 영역에서의 자기 벡터 포텐셜 는 다음 식으로 근사화 시킬 수 있다.

(4.15)

따라서 유한요소법의 정식화를 위하여 Galerkin법을 적용하면, 식(4.11)에서 나타낸 LIM의 지배방정식에 대한 잔차 은 다음과 같이 된다.

 

(4.16)

식 (4.16)에서 구한 잔차 에 가중함수를 곱해서 해석영역에 대해 적분하고 이 값을 가중잔차 로 놓아 를 영으로 하는 해를 구하면 곧 LIM의 지배방정식에 대한 근사해를 구하는 것이므로 가중함수를 형상함수 로 대체시키면 가중 잔차 는 식 (4.17)과 같이 된다.

 

 

(4.17)

또한 요소 의 절점들에 대하여 식(4.12) 및 식(4.17)을 적용하면, 다음 식이 성립한다.

 

(4.18)

여기서 는 요소 의 면적이다.

식(4.18)을 Green의 공식에 의하여 전개하고 Neumann의 경계조건을 고려하여 정리하면 다음 식으로 된다.

 

 

(4.19)

한편 식(4.19)에서 전류밀도 는 미지 값으로서 식(4.20)과 같이 쓸 수 있다.

 

(4.20)

 

여기서 은 슬롯 내에 전류 가 흐르는 코일의 턴수이며 는 슬롯의 단면적이다. 따라서 식(4.20)을 식(4.19)에 대입하고 면적좌표를 이용하여 형상함수를 적분하여 정리하면 다음과 같은 요소 행렬을 얻을 수 있다.

 

 

 

(4.21)

여기서 식(4.21)은 요소 에 대한 잔차의 표현식이므로 이것을 전 영역의 모든 요소 개에 대하여 조합하면 전 영역의 잔차 식에 해당하는 식 (4.22)와 같은 벡터 방정식이 구해진다.

 

 

 

(4.22)

 

식 (4.22)에서 [S]는 절점의 위치와 투자율에 관련된 시스템 방정식의 계수행렬로 대칭이며 [V]는 속도 항에 관련된 계수행렬, [M]은 와전류에 관련된 계수행렬이며 [ ]는 권선의 절점 전류벡터 행렬이다.

식(4.21)과 (4.22)에서 [V]는 속도 항이 있는 경우의 잔차로 정지 좌표계를 사용하여 해석할 때는 이 속도 항이 영이 되지 않음으로써 계수행렬이 비대칭이 됨을 알 수 있다. 유한 요소법으로 문제를 풀 때 시스템 행렬이 비대칭이 되면 계산기 메모리 용량이 커지고 계산 시간이 많이 걸리는 단점이 있다. 따라서 이 [V]항을 영으로 만들기 위하여 이동 좌표계를 사용하여 상대속도를 영으로 만들어 줌으로써 계수행렬을 식 (4.23)과 같이 대칭성을 유지할 수 있게 처리한다.

 

(4.23)

 

 

4.1.4 회로 방정식과 지배 방정식의 결합

각 상전압에 대한 Kirchhoff 법칙으로부터 식 (4.24)와 같은 회로방정식을 구할 수 있다.

 

[U] = [R] [I] + [L0] [I] + [E] (4.24)

[E] = [ ] (4.25)

여기서,

[ U ] = (Ua, Ub, Uc)T : 각상의 전압,

[ I ] = (ia, ib, ic)T : 각상의 권선전류,

[ R ] = diag(Ra, Rb, Rc) : 각상의 일차측 권선 및 회로저항,

[ L0] = diag(La, Lb, Lc)

: 각상의 일차측 코일 end 부분의 누설인덕턴스,

[ E ] = (Ea, Eb, Ec)T : 각상의 유기 기전력,

[ ] = ( )T

: 유한요소 영역에서의 각상 권선의 자속쇄교수.

 

여기서 자속 쇄교수 를 자기 벡터 포텐셜 를 사용하여 나타내기 위해 다음과 같은 관계식을 사용한다.

 

(4.26)

 

각 권선 영역을 구성하는 요소수가 개이고 z축 방향으로의 적층폭이 이며 각 권선 영역 요소의 자기 벡터 포텐셜을 그 요소 중심에서의 값으로 근사화 하면 슬롯면적 내의 권회수가 인 권선에 쇄교되는 자속수은 다음과 같이 표현된다.

 

(4.27)

여기서, + : 전류가 흘러나오는 요소일 때,

- : 전류가 흘러 들어가는 요소일 때,

: 삼각형 요소의 면적.

 

따라서 식 (4.27)을 식 (4.24)에 대입하여 정리하면 다음 식을 얻는다.

 

(4.28)

여기서 [N] = { Na, Nb, Nc },

 

(k = a, b, c ) , (j=1,2, ... , n)

 

이며 는 절점 에 관계되는 요소의 면적합, 는 총 절점 수이다. 한편 절점 전류 벡터와 상전류 벡터의 관계식인 를

이용하여 식(4.23)과 식(4.28)을 결합하면 다음과 같은 시간 미분항이 포함된 선형연립방정식을 얻을 수 있다.

 

+

= (4.29)

식(4.29)의 시간 미분항을 처리하는 방법으로서 수렴성과 계산 시간을 고려하여 후퇴 차분법을 사용하면 전체 시스템 방정식은 식(4.30)과 같이 된다.

 

 

= + (4.30)

식(4.30)을 다시 정리하면 식(4.31)과 같은 행렬이 된다.

 

 

= + (4.31)

 

 

 

 

4.1.5 추력 및 수직력 계산

자계 내에 도체가 놓여 있으면 이 도체에 작용하는 자기력 밀도 는 전류밀도와 자속밀도에 의하여 식 (4.32)와 같은 로렌츠힘으로 표현된다.

 

(4.32)

 

여기서는 변위 전류를 무시한 준 정상상태이므로 가 되므로 식 (4.32)는 다음과 같이 정리된다.

 

(4.33)

그러므로 체적이 인 물체에 작용하는 전자력 는 식(4.34)와 같다.

 

(4.34)

 

또한 식 (4.34)에 vector identity에 의한 식 을 대입하고, Gauss-Green공식을 적용하여 정리하면 식(4.35)로 주어진다.

 

 

(4.35)

여기서 는 맥스웰 응력, 는 체적 의 표면적, 은 에 수직인 외향 단위법선 벡터이다. 따라서 식(4.35)로부터 체적 인 물체에 작용하는 힘은 그 물체를 둘러싸고 있는 표면적 에 작용하는 응력 의 면적분과 같음을 알 수 있으며, 요소 내에서 발생한 맥스웰 응력 의 , 성분인 , 는 각각 식(4.36), (4.37)과 같이 주어진다.

 

(4.36)

(4.37)

 

그러므로 적분경로 에 대하여 작용하는 성분의 추력 와 y 성분의 수직력 는 각각 식(4.38), (4.39)와 같이 구해진다.

 

[N] (4.38)

[N] (4.39)

여기서 는 일차 철심의 적층 폭이다. 힘 계산의 정밀도를 향상시키기 위해 본 논문에서는 공극을 삼층으로 나누고 각층에서 각각 적분경로를 취하여 힘을 계산한 후, 추력 및 수직력은 이들의 평균값으로 취한다.

 

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출처 : 허공의 휴유정사

글쓴이 : 허공 (虛空) 원글보기

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